2.2　课后习题详解

1  数列的极限和无穷大量

1．写出下列数列的前四项：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：

2．按定义证明以下数列为无穷小量：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

解：（1）对

由于

要使

只要即可．取则当n>N时，

总成立，所以

（2）对

由于

要使

只要即可．取则当n>N时，

总成立，所以

（3）对由于

要使

只要即可．取则当n>N时，

总成立，所以

（4）设

，

对由于

，

设

则

当n＝2k＋1时，有

当n＝2k时，有

总之，有从而

要使

只要即可．取则当n>N时，

总成立，所以

（5）对由于

要使

只要即可．取则当n>N时，

总成立，所以

（6）对由于

要使

只要即可．取则当n>N时，

总成立，所以

（7）对由于

要使

只要即可．取则当n>N时，

总成立，所以

3．举例说明下列关于无穷小量的定义是错误的：

（1）对任意ε>0，存在N，当n>N时，成立

（2）对任意ε>0，存在无限多个x_n，使

解：（1）例如：数列（或{-n}）即（或）满足上述条件，但不是无穷小量；

（2）例如：数列满足上述条件，但不是无穷小量．

4．按定义证明：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

证明：（1）对由于

要使

只要即可．取则当n>N时，

总成立，所以

（2）对由于

要使

只要即可．取N＝则当n>N时，

总成立，所以

（3）对由于

要使

只要即可．取则当n>N时，

总成立，所以

（4）对由于

则

要使

只要即可．取则当n>N时，

总成立，所以

（5）对由于

要使

只要即可．取则当n>N时，

总成立，所以

（6）对由于

要使

只要且即可．取则当n>N时，

总成立，所以

5．（1）按定义证明：若a_n→a（n→∞），则对任一自然数k，，a（n→∞）．

（2）按定义证明：若a_n→a（n→∞），则|a_n|→|a|（n→∞）．但反之是否成立？

（3）若|a_n|→a（n→∞），试问a_n→a（n→∞）是否一定成立？为什么？

证明：（1）由于

故对当n>N时，

则对>N时，

于是对当时，

从而

△此结论说明：去掉数列的前面有限项，也不影响收敛性．

（2）

①由于

故对当n>N时，

又

于是对当n>N时，

成立，即

②反之不一定成立．

例：a．不成立：则而a_n无极限；

b．成立：则

（3）由于

故对当n>N时，

又

于是对当n>N时，

成立，即

从而若则一定成立．

6．按定义证明：若x_n→a（n→∞），且a>b，则存在N，当n>N时，x_n> b成立．

证明：由于

故对当n＞N时，

即

又a＞b，故a－b＞0，则取从而当n＞N时，有

即存在N，当n＞N时，成立

7．若{x_n，y_n）收敛，能否断定{x_n），{y_n}亦收敛？

解：不能．

例：则收敛，但均不收敛．故若收敛，不能断定亦收敛．

8．利用极限性质及运算证明：

（1）

（2）

（3）利用

证明：

（i） （ii）

证明：（1）对有

且

则

（2）对有

且

则

（3）（i）设a＝1＋h（h＞0），由于

又为定值，则从而

（ii）设e＝1＋h（h≈1.7），由于

又从而

9．求下列极限：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

解：

（3）由于故又|cosn|≤1，从而

（5）由于{sinn！}为有界数列，故

10．若试证：

（1）

（2）（其中）．

证明：（1）由于

故对当n＞N时，

且

即对上述当n＞N时，

从而

（2）由于

故

则据（1）得

11．对数列若→a（k→∞）→a（k→∞），证明：x_n→a（n→∞）．

．

证明：若故使当时，成立．

又因故使当时，成立．

取则当n＞N时:

若n为偶数，

若n为奇数，

因此

12．利用单调有界必有极限证明以下数列存在，并求出极限：

（1）

（2）

证明：（1）显然假设则由归纳法，知是单调增加的，又

故得于是即由上界．从而存在，记在

两边令n→∞，得解之得l＝2，即

（2）显然x_n≥1，由条件知

，

故有界．又

假设则

由归纳法，知是单调增加的．从而存在，记

在两边令n→∞，得

即l²＝1＋l，解得

（不合题意，舍去），

即

13．若证明：

证明：由于

且此等式当且仅当故等号成立当且仅当

又0＜a＜b，故则有递推公式，得

且

而

则

又由

得

说明与都是单调有界数列，从而，均有极限．

设

又由

得

在等式两边令n→∞，得

，

又由

得0＜a≤α，从而α＝β，即有

14．利用单调有界必有极限证明以下数列存在极限：

（1）

（2）

（3）（a>1，k为正整数）；

（4）（0<a<1）．

证明：（1）由于

故则为单调增加的．

又

故有界，于是存在极限．

（2）由于

故则为单调增加的．

又

故有界，于是存在极限．

（3）由于a＞1，k为正整数，故则有下界．又

故当n＞N时，有

则从N＋1项开始都有于是为单调减少的（n＞N），从而存在极限．

（4）由于

故是单调增加的，从而由

得是单调增加的．又

故有界，于是存在极限．

15．证明：若x_n上升，y_n下降，而为无穷小量，则x_n和y_n必有同一极限．

证明：由上升，故又下降，故

又为无穷小量，故有界．

设

其中C为某常数，则

即

于是有上界，从而存在极限．又

于是有下界，从而存在极限，则

于是

16．若试证：

证明：由

得：对当时，有

则有

取则

又为定值，则

于是对上述当时，有

取则当时，有

即有

注：若存在．

例：则显然但不存在．

17．证明：若则

证明：（1）设a＝0，去证

由则据定理得使

由则对当时，有

取于是当时，有

从而

（2）当时，由得

又故

由（1）知

于是

即

从而

18．按定义证明下列数列为无穷大量：

（1）n！；

（2）

（3）

（4）

解：（1）对由于要使即可．取则当n＞N时，总成立．故无穷大量．

（2）对要使只要即可．取则当n＞N时，总成立．故无穷大量．

（3）对由于

要使

只要即可．取则当时，

总成立．故是无穷大量．

（4）对由于且单调递增，则

于是

从而

则要使

只要即可．取则当时，

总成立，故

是无穷大量．

　 19．证明：若（x_n）是无穷小量，x_n≠0（n＝1，2，3，…），则是无穷大量．

证明：由于是无穷小量，故对当时，有又故存在且又ε是任意的，故也是任意的，从而是无穷大量．

20．证明：若{x_n）为无穷大量，{y_n）为有界变量，则{）为无穷大量．并由此计算下列极限：

（1）

（2）

（3）

又两个无穷大量的和的极限怎样？试讨论各种可能情形．

证明：由于为有界变量，故必存在正数m，使又是无穷大量，

故对当时，有则当时，有

由g的任意性及可知且是任意的，从而为无穷大量．

解：

（1）由于

（2）由于

（3）设则

故有又由

从而

21．讨论无穷大量和无穷小量的和、差、商的极限的情形．

解：（1）和、差：因故有界．又则由上题结论，有为无穷大量．

（2）商：当时，由于则有即

22．举例说明无穷大量和无穷小量的乘积可能发生的各种情形．

解：

无极限但有界

无极限，无界（但不是无穷大量）

23．若证明：

证明：因则对当时，有

又则对当时，有

取则当时，有

即

由的任意性，得任意的且则得

24．若证明：

证明：因

则对当时，有

于是

取则

于是对上述G＞0，

取则当时，有

从而

又

故对于当时，有

从而

取则当n＞N时，有

由此知

§2　函数的极限

1．用分析定义证明：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

证明：（1）对由于

因x→-1，不妨设则-2＜x＜0，从而

于是

要使

只要即可．

取则当时，就有

总成立，故

（2）对由于

因x→3，不妨设则2＜x＜4，从而

于是

要使

只要即可．取则当时，就有

总成立，故

（3）对由于

因x→1，不妨设则0＜x＜2，从而

于是

要使

只要即可．取则当时，就有

总成立，故

（4）对由于

因不妨设则

于是

要使

只要即可，即取则当时，就有

总成立，故

（5）对由于

因x→3，不妨设则2＜x＜4，从而

于是

要使

只要即可．取则当时，就有

总成立，故

（6）对由于

因取则当时，就有

总成立，故

2．求下列极限：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）（m，n为自然数）；

（10）

（11）

（12）

解：

3．设式中P（x）和Q（x）为x的多项式，并且P（a）＝Q（a）＝0，问有哪些可能？

解：由于P（x）和Q（x）为x的多项式，并且则

于是

讨论：

4．求下列极限：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）

解：

（12）由于则

5．若并且存在δ>0，当时，有f（x）≥g（x），证明：A≥B，又若当

时，f（x）>g（x），是否一定成立A>B．

证明：（1）用反证法．假设A＜B，则由

及性质1，得使当时，有

这与已知：当时，有

矛盾，故假设不成立，即成立．

（2）不一定．例：

①成立．

当时，有

又

故A＞B成立．

②不成立．

当时，有

又

故A＝B成立．

6．若证明

证明：考察

由于

故对当时有

对上述当时，有

又据乘法运算：

再根据性质3，得当时，有

取当时，有

于是，对当时，有

从而

7．（1）求f（x）在x＝1的左右极限；

（2）求f（x）在x＝0的左右极限．

解：

8．说明下列函数在所示点的左右极限情形：

解：

（3）由于

则

于是

（5）此函数在任一点的左右极限不存在．

设为R上任一点，由有理数和无理数在数轴上的稠密性，可知有理序列无理序列

故

从而此函数在任一点的右极限不存在

同理，此函数在任一点的左极限也不存在，从而此函数在任一点的左右极限不存在．

（6）

9．讨论下列极限：

解：（1）由于

且sinx是有界量，故

（2）由于

若取则

若取

则

故

不存在，从而

不存在．

（3）由于

则

从而

（4）取有

另取 有

故

不存在．

10．由条件

求常数a和b．

解：由于

则有

从而

11．由条件

求常数

解：由于

则

于是

又据条件可得：若则

从而

同理

12．若则称直线是曲线当时的渐近线．利用这一方程推出渐近线存在的必要并且充分的条件；

证明：若曲线存在渐近线，则有

因

令两端取极限并注意到（1）式，得

既求出了k，再从（1）式求得

　  （3）

反之，若（2）、（3）两式成立，立即可看出条件（1）成立．

故曲线y＝f（x）当时存在渐近线y＝kx＋b的充分必要条件是极限

均成立．

13．若，证明：存在，使得当时，成立．

证明：由于

故对给定的当x＜-X时，有

即

14．若证明：；

证明：由于

故对

当又

故对上述

取对上述有

15．证明有；

证明：由于

故对

又故对上述从而

于是

至少有一个

特别地，取X为1，2，3，…，可得使得

有

从左边可以看出而从右边看出与已知矛盾，则假设不成立，故

16．证明的充要条件是对任何数列有

证明：

故对

又故对上述从而于是

至少有一个

特别地，取δ为可得使得

从左边可以看出而从右边看出与已知矛盾，则假设不成立，故

17．分别举出符合下列要求的各个函数

不存在．

（常数）；

和都不存在；

解：

§3　连续函数

1．按定义证明下列函数在定义域内连续：

（1）

（2）

（3）

答：（1）由题知，的定义域为，函数在处，是连续的，下面来证明在内，函数也是连续的

设为内任一点，对，取，当时，有，故

在点连续，又由于为内任一点，所以在内连续．故在连续

（2）设内任一点，

对故在点连续．

又由在内的任意性，得在内连续．

（3）设

于是

若

于是

设内任一点，

对有

故在点连续．

又由内的任意性，得在内连续．

2．利用连续函数的运算，求下列函数的连续范围：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

解：（1）因则当cos≠0时，y＝tanx连续，故y＝tanx的连续范围为

（2）若n＞0，则得连续范围为；若n≤0，则连续，即它的连续范围为

（3）因secx的连续范围为的连续范围为

故的连续范围为

（4）当cosx＞0时，连续，故的连续范围为

（5）因ln（1＋x）当x＞-1时连续，当时连续，故的连续范围为

（6）因则当时，连续，故

的连续范围为

3．研究下列函数的连续性，并画出其图形：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1）因

当x＝2时，y＝4，故函数在x＝2连续；

当x≠2时，显然连续，

故在内连续．

图2-1

（2）当x≠0时，显然连续．又故函数在x＝0连续，于是在内连续．

图2-2

（3）因当x＜0时，显然连续，故此函数在除0以外连续，即在内连续．

图2-3

（4）因则不存在，故x＝k（k∈Z）为y＝[x]的间断点，但在间断点处右连续

当时，y＝[x]显然连续，故此函数在除k（k∈Z）外连续．

图2-4

4．若f（x）连续，和是否也连续？又若或连续，f（x）是否连续？

解：（1）设f（x）在其定义域I上连续，为I上任一点

因f（x）在

而

即对有

故f（x）在点连续

又由在I上也连续

同样

故在点连续

又由在I上也连续

（2）反过来，若和连续，f（x）不一定连续．

①不连续．例：均在内连续，但f（x）在x＝0点不连续；

②连续．例：f（x）＝x，则在内均连续．

5．（1）函数以f（x）当x＝X₀时连续，而函数g（x）当x＝x₀时不连续，问此二函数的和在x₀点是否连续？

（2）当x＝x₀时函数f（x）和g（x）二者都不连续，问此二函数的和f（x）g（x）在点x₀．是否必不连续？

解：（1）用反证法．假设f（x）＋g（x）在点连续．

因f（x）当时连续，则由连续函数性质，得当时连续与已知矛盾．故假设不成立，即f（x）＋g（x）在点连续．

（2）不一定

①连续：例：在x＝0都不连续，但f（x）＋g（x）＝0在x＝0连续．

②不连续：例：在x＝0都不连续，在x＝0不连续．

6．（1）函数f（x）在x₀．连续，而函数g（x）在x₀不连续；

（2）当x＝x₀时函数f（x）和g（x）二者都不连续，问此二函数的乘积f（x）g（x）在点x₀．是否必不连续？

解：（1）不一定．

①连续：例：f（x）＝0在x＝0连续，在x＝0不连续，但f（x）g（x）在x＝0连续．

②不连续：例：f（x）＝0在x＝0连续，在x＝0不连续，在x＝0不连续．

（2）不一定．

①连续：例：在x＝0不连续，但f（x）g（x）＝-1在x＝0连续．

②不连续：例：在x＝0都不连续，在x＝0不连续．

7．若f（x）在[a，∞]连续，并且存在，证明f（x）在[a，∞]有界．

证明：由于存在，不妨设，则对成立，从而得

取内有界，且

又由于f（x）在上连续，故f（x）在上有界，设其界为M＞0，即

取

即f（x）在[a，∞）有界．

8．若对任一f（x）在连续，问

（1）f（x）是否在[a，b]连续？

（2）f（x）是否在[a，b]连续？

解：（1）任取取

因对任一ε＞0，f（x）在连续，故f（x）在点连续

由的任意性，得f（x）在（a，b）内连续．

（2）不一定连续．

①不连续：例：f（x）在内连续，但f（x）在[0，1]上不连续，在x＝0点断开．

②连续：例：f（x）在内连续，且f（x）在[1，2]上不连续．

9．若f（x）在x₀点连续，并且f（x）>0，证明：存在x₀的邻域当时C为某个常数．

证明：由于f（x）在则设

对给定的当时，有

10．证明：若连续函数在有理点函数值为0，则此函数恒为0．

证明：设f（x）为实轴上的连续函数，为任意一个无理点．

由有理点在数轴上的稠密性，可以取无理数列，使得

因f（x）在

由点的任意性，得f（x）在所有无理点的函数值都为0．又f（x）在有理点的函数值为0，则此函数恒为0．

11．若f（x）在[a，b]连续，恒正，按定义证明在[a，b]连续．

证明：由于f（x）在[a，b]连续，恒正，则f（x）在（a，b）连续，存在，，设为

内任一点，则对，当时，有

，

又f（x）在[a，b]连续，则由闭区间连续函数性质2，可设f（x）在[a，b]上的最小值为m＞0，即

于是

故

从而在连续．

由在（a，b）内的任意性，得f（x）在[a，b]连续．

又故f（x）在[a，b）连续

又故f（x）在[a，b]连续

12．若f（x）和g（x）都在[a，b]连续，试证明以及都在[a，b]连续．

证明：由于f（x）和g（x）都在[a，b]连续，故f（x）-g（x）和f（x）＋g（x）都在[a，b]连续．

由第4题结论，有在[a，b]连续．

令

故都在[a，b]连续．

13．若f（x）是连续的，证明对任何c>0，函数是连续的．

证明：由于

又由于f（x）是连续，且对任何c＞0连续，则由上题结论，得min（f（x），c）连续，从而再由上题结论，得g（x）连续．

14．研究下列函数各个不连续点的性质（即为何种不连续点）：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）

解：（1）因故x＝-1为第二类不连续点（无穷间断点）

（2）因但y在x＝-1点没有定义，故x＝-1为可移不连续点

（3）因

又故x＝-2，x＝1为第二类不连续点．

（4）因但y在x＝0点无定义，故x＝0为可移不连续点；

又故为第二类不连续点．

（5）因在[0，1]间振荡，为振荡型极限，故此极限不存在，于是x＝0为第二类不连续点．

（6）因x→k＋0时-x→-k-0，故

又因x→k-0时，-x→-k＋0，故

又当x＝k时，故整数点均为可移不连续点．

（7）因故x＝-1为第二类不连续点；

因不存在，故x＝0为第二类不连续点．

（8）

因但y在x＝1无定义，故x＝1为可移不连续点；

因故x＝0为第一类不连续点（条约间断点）；

因故x＝-1为第二类连续点．

（9）因此函数是以1为周期的函数，故可在区间[0，1]讨论，其它区间的情形与此类似．

在[0，1]上，分母为1的有理数有两个：分母为2的有理数有一个

分母为3的有理数有两个：分母为4的有理数有两个：

分母为5的有理数有四个：分母为6的有理数有两个：

总之，分母不超过k的有理数个数即分母不超过k的有理数只有有限个．

下面来证，在任一点

对设在[0，1]上，分母不超过k的有理数为

取,，则当也就是x或者为无理数，或者为有理数

就有

故于是得：任何无理数点都是此函数的连续点，任何有理数都是此函数的可移不连续点．

（10）因故x＝-1为第一类不连续点

（11）因故x＝-1为第一类不连续点

（12）①

取有理点列

取无理点列

故不存在，从而为函数的第二类不连续点

②

当x为无理数时，

当x为有理数时，对使有

连续．

15．当x＝0时，下列函数f（x）无定义，试定义f（x）的数值，使重新定义

后的函数在x＝0连续：

（1）

（2）

（3]

（4）

解：

16．若f（x）在[a，b]连续则在中必有使

证明：设

则

同理得

由于f（x）在上连续，故由介值定理知，必使

17．用一致连续定义验证：

（1）在[0，1]上是一致连续的；

（2）在（-∞．＋∞）上是一致连续的；

（3）在（-∞，＋∞）上不一致连续；

证明：（1）对任何

即亦即

对使得对总有

从而在[0，1]上是一致连续的

（2）对任何

对使得对总有

从而f（x）＝sinx在上是一致连续的．

（3）取对任何δ＞0

　

故当n充分大时，一定有

但

从而在上不一致连续．

§4　无穷小量与无穷大量的阶

1．求下列无穷小量当x→0时的阶和主要部分：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

解：（1）由于故它是一个3阶无穷小量，它的主要部分为

（2）由于故它是一个2阶无穷小量，它的主要部分为

（3）由于故它是一个1阶无穷小量，它的主要部分为∣x∣．

（4）由于故它是一个阶无穷小量，它的主要部分为

（5）由于故它是一个1阶无穷小量，它的主要部分为x．

（6）由于故它是一个3阶无穷小量，它的主要部分为

（7）由于故它是一个1阶无穷小量，它的主要部分为x．

2．当x→∞时，求下列变量的阶和主要部分：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

解：（1）由于故它是一个6阶无穷大量，它的主要部分为

（2）由于故它是一个5阶无穷大量，它的主要部分为

（3）由于故它是一个阶无穷大量，它的主要部分为

（4）由于故它是一个阶无穷大量，它的主要部分为

（3）由于故它是一个2阶无穷大量，它的主要部分为

3．试证：当时，

（1）

（2）

（3）

（4）

证明：（1）由于于是

又m＞n＞0，故

于是

从而

（2）由于于是

于是

从而

（3）又故f（x）有界，于是

从而

（4）由o（1）于是无穷小量，则o（1）→0于是

 

从而