1.2　课后习题详解

§1　函数的概念

1．解下列不等式，并画出x的范围：

解：

图1-1

图1-2

（3）或

图1-3

（4）−4<x≤0或2≤x<4

图1-4

2．证明下列绝对值不等式：

证明：（1）因则于是．

（2）用数学归纳法证明．

①当n=2时，由得结论成立．

②假设当n=k时结论成立，即有

则当n=k＋1时，

综上可知，对一切自然数n，均成立．

（3）

3．解下列绝对值不等式，并画出x的范围：

解：

图1-5

图1-6

（3）当A≥0时，x<-A或x>A；

图1-7

当A<0时，x∈R．

图1-8

（5）原式等价于则

图1-9

图1-10

4．求下列函数的定义域及它在给定点上的函数值：

的定义域及f（－1），f（1）和f（2）；

的定义域及y（4），y（5）；

的定义域及f（0），f（－1）．

解：（1）函数的定义域为

（2）函数的定义域为

（3）函数的定义域为

（4）函数的定义域为

（5）函数的定义域为

（6）函数的定义域为

5．求下列函数的定义域和值域：

解：（1）函数的定义域为值域为

（2）函数的定义域为，值域为．

（3）函数的定义域为,值域为

（4）函数的定义域为

6．设f（x）=x＋1，φ（x）=x-2，试解方程|f（x）＋φ（x）|= |f（x）|＋|φ（x）|．

解：由题意可得，即则x≥2或x≤-1．

7．设f（x）=（|x|＋x）（1-x），求满足以下各式的x值：

（1）f（x）=0；　  （2）f（x）<0．

解：（1）要f（x）=0，则或1-x=0，即x≤0或x=1．

（2）因则要f（x）>0，只要1-x<0即可，即x>1．

8．图1-11表示电池组V、固定电阻R₀和可变电阻R组成的电路．在一段不长的时间内，A，B两点间的电压V可以看成一个常量，求出电流I和可变电阻R的函数式．

图1-11

解：由题意及物理学知识，得

9．在一个圆柱形容器内倒进某种溶液，该圆柱形容器的底半径是a，高为h，倒进溶液的高度是x（图1-12），求该溶液的体积V和x之间的函数关系V=V（x），并写出它的定义域和值域．

图1-12

解：由题意得．

10．某灌溉渠的横断面是一个梯形，如图1-13，底宽2m，斜边的倾角为45°，CD表示水面，求断面ABCD的面积S与水深h的函数关系．

图1-13

解：由题意及图可得．

11．有一深为H的矿井，如用半径为R的卷扬机以角速度w从矿井内起吊重物，求重物底面与地面的距离s和时间t的函数关系（图1-14）．

图1-14

解：由题意及图可得．

12．设

求f（－2），f（－1）,f（0），f（1）和

解：由题意得

13．设

求f（0），f（－2），f（t＋1），f（a）．

解：由题意得 ，．

14．邮资y是信件质量x的函数．假设我们规定，对于国内的外埠平信，按信件质量，每重20g应付邮资8分，不足20g者以20g计算．当信件的质量在60g以内时，试写出这个函数的表达式，并画出它的图形．

解：由题意得

函数图如下所示：

　 图1-15

15．脉冲发生器产生一个三角波，其波形如图1-16，写出函数关系u= u（t）（0≤t≤20）．

图1-16

解：由题意及图可得

16．下列函数f和φ是否相等，为什么？

解：（1）因f的定义域为，故这两个函数不相等．

（2）因故这两个函数的函数表达式不一样，故这两个函数不相等．

（3）因恒成立，故这两个函数相等．

17．证明对于直线函数f（x）=ax＋b，若自变量组成一等差数列，则对应的函数值也组成一等差数列．

证明：设是x_n中任意3个相邻的数

据题意，得

，

又

则

于是

从而

又

是x_n中任意3个相邻的数，则

是y_n中任意3个相邻的数，于是

也组成一等差数列．

18．如果曲线y=f（x）上的任一条弦都高出于它所限的弧（图1-17），证明不等式

对于所有的成立（凡具有上述特性的函数叫做凸函数）．

图1-17

证明：在曲线上任取两点连接AB取其中点

则

又曲线上

所对点的纵坐标为

，

则

又曲线上的任一条弦都高于他所限的弧且为弦与弧的交点，则，

则

对于所有的成立．

图1-18

19．讨论下列各函数在所示区间内的单调性：

解：（1）设

则

又

则

故当时，原函数严格单调递减；当时，原函数严格单调递增．

（2）设

则

又

则

于是

故当时，原函数严格单调递增．

（3）设

则

又

即

于是

故当时，原函数严格单调递减．

20．讨论下列函数的奇偶性：

这个函数称为符号函数；

解：（1）因

则

故

于是，此函数是非奇非偶函数．

（2）因

则

于是此函数是偶函数．

（3）因

则

故

于是，此函数是非奇非偶函数．

（4）因

则

于是此函数是偶函数．

（5）因

则

于是此函数是奇函数．

（6）因

则

故

于是，此函数是非奇非偶函数．

21．试证两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数．

证明：设为定义在内的偶函数，为定义在内的奇函数，

则

于是

从而F₁（x）是偶函数；F₂（x）是偶函数；F₃（x）是奇函数．

22．设f（x）为定义在（－∞，＋∞）内的任何函数，证明是偶函数，是奇函数．写出对应于下列函数的

证明：因

则

是偶函数；

又

则

是奇函数．

23．说明下列函数哪些是周期函数，并求最小正周期：

解：（1）因

则

（2）假设

为一周期函数，且

据周期函数的定义，对任何

有

特别对x=0也应该成立，则

于是

又对

也成立，故

于是

又

而则假设不成立，即函数

不是周期函数．

（3）因

的T=π，则

的T=2π．

（4）

（5）因

故可知

（6）因

的T=π，则

的T=π．

（7）因

则

的T=1．

（8）

§2　复合函数和反函数

1．下列函数组能否构成复合函数y=f（φ（x）），如果能够构成则指出此复合函数的定义域和值域：

，定义域为，定义域为X，值域为U₂；

解：（1）因的定义域为的值域为则此函数能构成复合函数它的定义域为值域为

（2）因的定义域为的值域为则此函数能构成复合函数它的定义域为值域为

（3）因的定义域为．

则此函数能构成复合函数

它的定义域为值域为．

（4）因的定义域为的值域为U₂．

当时，此函数能构成复合函数y=2，它的定义域视具体函数而定，值域为；

当时，此函数不能构成复合函数．

（5）因的定义域为的值域为；则此函数能构成复合函数它的定义域为值域为．

2．设，证明：

证明：由题意得

3．（1）设，求

（2）设，求

（3）设，求

（4）设，求f（a tanx）．

解：（1）因

则

（2）因

则

（3）因

则

（4）因

则

4．若．求

解：因

则

5．若，求

解：因

，

则

6．设，求

解：因

则

7．求下列函数的反函数及反函数的定义域：

解：（1）因

则

从而此函数的反函数为

（2）因

则

从而此函数的反函数为

（3）因

则

从而此函数的反函数为

（4）因

，

则

从而此函数的反函数为

§3　基本初等函数

1．把下列在[0，1）上定义的函数延拓到整个实轴上去，使它成为以1为周期的函数：

解：（1）延拓后的函数为

（2）延拓后的函数为

（3）延拓后的函数为

2．把下列在[0，＋∞）上定义的函数延拓到整个实轴上去，（a）使它们成为奇函数，（b）使它们成为偶函数：

解：（1）延拓后的函数为：

（2）延拓后的函数为：

3．作下列函数的图形：

解：

图1-19

4．作函数的图形．

解：

图1-20

5．作函数的图形．

解：

图1-21

6．一个函数是用下述方法决定的：在每一个区间n≤x<n＋1（其中n为整数）f（x）是线性的且，试作此函数的图形．

解：

图1-22

7．作函数的图形．

解：

图1-23

8．若已知函数，作下列函数的图形：

解：（1）

图1-24

（2）（k，b＞0）

图1-25

（3）

图1-26

9．若已知函数的图形，作函数的图形，并说明的图形与y的图形的关系．

解：设的图形如下：

图1-27

则y₁的图形为：

图1-28

则y₂的图形为：

图1-29

则y₃的图形为：

图1-30

y₁的图形当时与y的图形关于x轴对称;当时与y的图形一样,

y₂的图形与y的图形关于y轴对称，

y₃的图形与y的图形关于原点对称．

10．若已知的图形，试作函数的图形，并说明y的图形与的图形的关系．

解：

图1-31

11．对于定义在[0，π]上的函数y=x，先把它延拓到[0，2π]使它关于x=π为对称，然后再把已延拓到[0，2π]上的函数延拓到整个实轴上使函数成为以2π为周期的函数，并作出它的图形．

　 解：所求函数为：

图1-32