第1章　信号与系统

1.1　复习笔记

一、信号的基本概念与分类

信号是载有信息的随时间变化的物理量或物理现象，其图像为信号的波形。根据信号的不同特性，可对信号进行不同的分类：确定信号与随机信号；周期信号与非周期信号；连续时间信号与离散时间信号；实信号与复信号；能量信号与功率信号等。

二、信号的基本运算

1加法和乘法

f₁（t）±f₂（t）或f₁（t）×f₂（t）

两信号f₁（·）和f₂（·）的相加、减、乘指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。

2．反转和平移

（1）反转f（－t）

f（－t）波形为f（t）波形以t＝0为轴反转。

图1-1

（2）平移f（t＋t₀）

t₀＞0，f（t＋t₀）为f（t）波形在t轴上左移t₀；

t₀＜0，f（t＋t₀）为f（t）波形在t轴上右移t₀。

图1-2

平移的应用：在雷达系统中，雷达接收到的目标回波信号比发射信号延迟了时间t₀，利用该延迟时间t₀可以计算出目标与雷达之间的距离。这里雷达接收到的目标回波信号就是延时信号。

3．尺度变换f（at）

若a＞1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上压缩为原来的；

若0＜a＜1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上扩展为原来的；

若a＜0，则f（at）波形为f（t）的波形反转并压缩或展宽至。

图1-3

若f（t）是已录制在磁带上的声音信号，则f（－t）可看做将磁带倒转播放产生的信号，而f（2t）是磁带以2倍速度加快播放的信号，f（t/2）则表示磁带放音速度降至一半的信号。

信号f（at＋b）（式中a≠0）的波形可以通过对信号f（t）的平移，反转（若a＜0）和尺度变换获得。

离散信号通常不作展缩运算。

三、典型信号及其性质

1单位阶跃信号

图1-4

2．单位冲激信号

则。

图1-5

3．冲激函数的基本性质

（1）偶对称性：δ（－t）＝δ（t）

（2）与普通函数的乘积：f（t）δ（t）＝f（0）δ（t），f（t）δ（t－t₀）＝f（t₀）δ（t－t₀）

（3）抽样性

（4）尺度变换：

（5）复合函数形式的冲激函数

若f（t）为普通函数，t_i（i＝1,2,…,n）为f（t）的n个相异单实根，则

（6）冲激偶的性质

（7）奇偶性

δ⁽ⁿ⁾（－t）＝（－1）ⁿδ⁽ⁿ⁾（t），即当n为偶数时有δ⁽ⁿ⁾（－t）＝δ⁽ⁿ⁾（t），它们可看作是t的偶函数；当n为奇数时有δ⁽ⁿ⁾（－t）＝－δ⁽ⁿ⁾（t），它们可看作是t的奇函数。

四、系统的定义、分类及描述

1系统的定义

若干相互作用，相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统，此为系统广义的定义。对电信号而言，系统可看作是对信号进行存储、转换、传输和处理的物理装置。

2．系统的分类

从不同的角度，可以将系统进行分类，如连续时间系统和离散时间系统，即时系统和动态系统，无源系统和有源系统，集总参数系统和分布系统，线性系统与非线性系统，时变系统与时不变系统等。

3．系统描述

（1）系统的数学模型

系统基本特性的数学抽象，是以数学表达式来表征系统的特性。描述连续系统的数学模型是微分方程，而描述离散系统的数学模型是差分方程。

（2）系统的框图表示

将基本运算（相乘、微分、相加运算）用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为模拟框图，简称框图。

图1-6　积分

图1-7　数乘器

图1-8　加法器

五、系统特性

1线性

系统的激励f（t）所引起的响应y（t），可简记为y（t）＝T[f（t）]。线性性质包括两方面：齐次性和可加性。

（1）若系统的激励f（t）增大a倍，其响应y（t）也增大a倍，即T[af（t）]＝aT[f（t）]，则称该系统是齐次的。

（2）若系统对于激励f₁（t）与f₂（t）之和的响应等于各个激励所引起的响应之和，即T[f₁（t）＋f₂（t）]＝T[f₁（t）]＋T[f₂（t）]，则称该系统是可加的。

若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的，即T[af₁（t）＋bf₂（t）]＝T[af₁（t）]＋bT[f₂（t）]。

2．时不变性

若系统满足输入延迟多少时间，其零状态响应也延迟多少时间，则该系统具有时不变性。即，若T[{0},f（t）]＝y_zs（t），有T[{0},f（t－t_d）]＝y_zs（t－t_d）。

3．因果性

若一系统满足当且仅当输入信号激励时，才会出现零状态输出，则此系统具有因果性。即因果系统的输出不会出现在输入之前。许多以时间为自变量的实际系统都是因果系统，如收音机、电视机、数据采集系统等。

4．稳定性

若系统的输入有界，则其输出也有界，则该系统具有稳定性，称为有界输入有界输出（BIBO）稳定系统；否则不稳定。

六、线性时不变（LTI）系统

若系统既满足线性性质，又满足时不变特性，则称该系统为线性时不变系统，简称为LTI系统。

LTI系统满足微分性和积分性：若f（t）→y_zs（t），则